Laboratório do Círculo Trigonométrico
De onde vêm π/6, π/4 e π/3? Porque é que o cosseno se lê no eixo x e o seno no eixo y? E como é que um círculo acaba por desenhar uma onda?
Neste laboratório interativo do círculo trigonométrico, vamos reconstruir a trigonometria passo a passo. Começamos pelas razões trigonométricas, passamos para os radianos e só depois usamos o círculo para compreender seno, cosseno, tangente, quadrantes e funções trigonométricas.
Aqui não precisas de decorar tudo de uma vez. Primeiro percebes. Depois organizamos.
Antes do círculo: ainda te lembras do triângulo?
No secundário vamos precisar do que aprendeste no 9.º ano. Se já não te lembras bem, recuperamos aqui sem saltar etapas.
Muda o ângulo de referência
A técnica ✓ / ? também continua a funcionar
Nove casos: três com seno, três com cosseno e três com tangente.
Que razão relaciona os ✓ e o ?
E os ângulos complementares?
Como α + β = 90°, o cateto que é oposto a α é adjacente a β.
Porque é que 30° é π/6?
Em vez de decorar a conversão, começa por olhar para meia volta. Uma semicircunferência corresponde a 180° e também a π radianos.
Fatia os 180°
Um ângulo pode dar várias voltas
O sentido anti-horário é positivo. O sentido horário é negativo. Ângulos diferentes podem terminar exatamente na mesma direção.
Agora sim: o círculo trigonométrico
Num círculo de raio 1, as coordenadas do ponto permitem ler diretamente o cosseno e o seno.
Os sinais não precisam de ser decorados às cegas
O cosseno herda o sinal da coordenada x. O seno herda o sinal da coordenada y. A tangente depende do quociente entre os dois.
cos +
tg +
cos −
tg −
cos −
tg +
cos +
tg −
Coordenadas, seno, cosseno e tangente
Começa pelos ângulos que aparecem repetidamente. Vê o ponto no círculo e liga-o aos valores exatos.
30°
| Ângulo | sen | cos | tg |
|---|
Fatia o círculo
Uma volta completa mede 2π. Ao dividi-la em partes iguais, os ângulos deixam de parecer símbolos arbitrários.
Escolhe o tamanho de cada fatia
Dois círculos. O mesmo ângulo. Coordenadas diferentes.
Primeiro já percebeste o círculo trigonométrico. Agora podemos comparar com um círculo cujo raio é diferente de 1.
Círculo de raio r
O raio pode mudar.
Círculo trigonométrico
O raio é sempre 1.
Onde aparece a tangente no círculo?
Prolonga a direção do raio até à reta x = 1. A ordenada desse ponto corresponde a tg α.
O círculo desenha uma onda
À medida que o ponto roda, podemos transportar a sua coordenada vertical ou horizontal para um novo gráfico.
Agora junta as peças
Radianos, coordenadas, sinais, rotações e periodicidade.
O círculo organiza a trigonometria.
O seno não aparece magicamente numa tabela: é uma coordenada. O cosseno também. Os sinais vêm dos quadrantes. Os radianos vêm da medida do arco. E as funções trigonométricas nascem quando deixamos o ponto rodar.